среда, 12 февраля 2014 г.

Размышление над сказкой


(Объём прямого кругового цилиндра)

История одного стихийного занятия математического кружка в VI классе.

Щудрова Лариса Германовна,

 учитель математики МОУ СОШ №1
 п. Кавалерово.

Тип занятия: формирование новых знаний.

Цель:

а) использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и в повседневной жизни для:

● исследования (моделирования) несложной практической ситуации на основе изученных формул и свойств фигур;

● вычисления длин, площадей и объёмов моделей геометрических тел при решении практических задач;

б) расширение кругозора, привитие интереса к занятиям математикой, развитие творческих способностей ребят;

в) воспитывать чувства товарищества и взаимовыручки, уважение к мнению других, умение отстаивать свою точку зрения;

г) подготовить к изучению систематического курса геометрии в VII классе.


Задачи:

1. Вывести формулу объёма прямого кругового цилиндра

2. Зарисовать (придумать) развёртку прямого кругового цилиндра.

3. Вычислить объём прямого кругового цилиндра по модели (развёртке).



Методы обучения:

● Беседа (с элементами проблемной ситуации).

● Фронтальная лабораторная работа (исследовательский метод).



Оборудование: тетради в клетку, альбомные листы, чертёжные инструменты; карандаши: простой и цветные; ножницы, клей, ручка, модели: прямоугольного параллелепипеда и прямого кругового цилиндра. Компьютер, проектор, экран.



Структура занятия:

1. Организационный момент, постановка цели занятия (5 мин.)

2. Историческая справка – вводная беседа (2 мин.)

3. Ознакомление с новым материалом (65 мин.)

4. Первичное закрепление изученного материала (5 мин.)

5. Подведение итога занятия, рефлексия (3 мин.)



1) Предыстория такова: уроки математики в VI классе мы проходим по учебнику Н.Я. Виленкин, В. И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд (Мнемозина, 2008). В классе второй год работает кружок « Наглядная геометрия (Математика и моделирование)».

Однажды на занятие кружка Соня принесла свою сказку «Постриженный квадрат».

Вот она:

«Жил-был Квадрат. Он работал геометрической фигурой в школьной тетради. Чтобы удержаться на этой работе, нужно было поддерживать себя в должном виде – всегда бриться и подстригаться. Квадрат старался этому правилу соответствовать.

Но как-то раз, на выходных, Квадрат с друзьями отправился в трудный поход, сплав по реке на байдарках. Путешествие было сложным. И Квадрат очень устал, поэтому даже не побрился, и утром в понедельник, забывшись, пошёл на работу обросший. На работе Начальник сразу заметил неряшливый вид Квадрата, рассердился и дал ему несколько часов на стрижку.

Квадрат быстро побежал домой, но к несчастью обнаружил, что его бритва сломалась. Тогда он побежал в парикмахерскую. В салоне его посадили в квадратное кресло для квадратов, развернули от зеркала и... Стрижка началась. Стилист бегал, крутился вокруг Квадрата, то тут подрежет, то там; то один уголок подстрижёт, то другой... Наконец стрижка закончилась.

Когда его развернули к зеркалу, то Квадрат ужаснулся: все углы у него обстригли, и он стал круглым. Квадрат расстроился и нехотя поплёлся на работу. Начальника новый вид Квадрата привёл в восторг. С тех пор в тетради есть и круг и квадрат. А нашего героя теперь зовут не Квадрат, а Круг.»

Организационный момент.

2) Учитель: «Ребята, вы прослушали очень мудрую сказку; не зря же по-гречески имя Софья означает Мудрость. Помните у А.С. Пушкина: «Сказка – ложь, да в ней намёк...». О чём же эта сказка? Какой тайный смысл скрыт в этой удивительной сказке?»

Выслушиваем различные рассуждения ребят. Выбираем этот ответ: «В сказке говорится о том, что если неограниченно увеличивать количество углов (сторон), то квадрат превратится в круг».

Учитель: «Ещё Евклид в своих «Началах» описывал интересный способ нахождения площадей и объёмов геометрических фигур, он называется «метод исчерпывания».


Сообщение о методе исчерпывания нам подготовил Гоша. Слушаем. (Доклад в форме презентации, из ученической презентации взяты слайды 2, 3, 4).

3) (Справочный материал. «Введение метода исчерпывания вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому. Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием — Архимед. Метод исчерпывания – это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан (фр. Grégoire de Saint-Vincent, 1584-1667), в античные времена у метода не было специального названия.

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса).

Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем —математическим анализом».

Интернет ресурсы. Материал взят: Евдокс Книдский – Википедия  и Здесь ).

Слайд 2, слайд 3, слайд 4.



Учитель: Ребята, давайте проверим правоту сказки Сони.

4) Практическая работа №1 (в рабочей тетради, работаем индивидуально).

● Начертите круг произвольного радиуса, желательно на всю страницу тетради.

● Проведите два взаимно перпендикулярных диаметра.

● Впишите в круг квадрат.

● Разделите прямые углы (образованные диаметрами) пополам.

● Соедините последовательно все отмеченные точки на окружности, получился восьмиугольник. Его стороны значительно ближе к окружности, чем у квадрата.

● Если мы будем продолжать делить углы, то получим 16-угольник, затем 32-угольник и т.д.

● Наступит такой момент, когда мы не сможем отличить n-угольник от окружности.

Делаем вывод: Наше предположение верно, окружность – это та линия, к которой стремятся все вписанные в окружность многоугольники при неограниченном увеличении числа их сторон. (Кто пошустрее, могут проделать аналогичное задание для описанных около окружности многоугольников. Делаем вывод.) Слайд 5.



5) Демонстрируется модель прямоугольного параллелепипеда.

Учитель: «Вспомним, как называется это геометрическое тело. Как находится его объём?»

Ученики: «Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, необходимо перемножить три его измерения: длину, ширину и высоту. V = abc.».

Учитель: «А если в основании параллелепипеда – квадрат?»

Ученики: «Тогда формула объёма примет вид: V =aaH, V = a2H».

Учитель: «А чем является a2 для прямоугольного параллелепипеда?»

Ученики: «a2 – это площадь квадрата со стороной a, для прямоугольного параллелепипеда – это площадь основания. Формула объёма будет иметь уже такой вид:

Vпар. = Sоснования • H». Слайд 6.



6) Демонстрируется модель прямого кругового цилиндра.

Учитель: «А это что за тело? Чем похожи и чем отличаются друг от друга эти геометрические тела?»

Выслушиваются различные варианты ответов.

Учитель: «Ребята, мы ещё не знаем, как находят объёмы цилиндров, но может быть кто-нибудь уже догадался, как найти объём цилиндра?»

Обязательно поступит предложение: Vцилиндра = Sоснования • H.

Учитель: «Молодцы, ребята, вы применили «метод исчерпывания» Евклида для нахождения объёма цилиндра. А что лежит в основании цилиндра? А как находят площадь круга?».

Ученики записывают: Sкруга = πR2 , следовательно Vцилиндра = πR2H, где R – радиус основания, H – высота цилиндра.

Учитель: «Ребята, мы только что вывели формулу объёма прямого кругового цилиндра, которую вы будете изучать в XI классе» (Погорелов А.В. «Геометрия 7 – 11».)

(Шквал положительных эмоций, глаза горят, все довольны и горды собой). Слайд 7.



7) Учитель: «Помните, мы с вами строили развёртки куба, параллелепипеда? Давайте придумаем развёртку цилиндра. Какие будут предложения?»

Идёт обсуждение развёртки цилиндра. Приходим к единому мнению. На доске чертим схематический эскиз развёртки. Слайд 8.



Практическая работа №2 (на плотном альбомном листе формата A4, работаем (по желанию), кто самостоятельно, а кто и в группах по 2-3 человека).

● Циркулем вверху листа чертим круг (небольшого размера); значение радиуса R записываем в тетрадь.

● В тетради считаем длину окружности, используя формулу C = 2πR, считая π ≈ 3,2.

● К кругу пририсовываем прямоугольник со стороной C, другую сторону H (высоту) берём произвольно, значение H записываем в тетрадь.

● Пристраиваем второй круг того же радиуса, что и первый.

● Вырезаем полученную развёртку, помним про зубчики.

● Склеиваем модель прямого кругового цилиндра. Любуемся делом рук своих.

● Подсчитываем объём полученного цилиндра, используя уже известную нам формулу. Все вычисления производим в тетради.



8) Учитель: «Вот и подходит к концу наше занятие. Было ли вам интересно? Что особенно запомнилось? Что нового вы узнали? О чём, из услышанного сегодня, вы бы хотели узнать подробнее?...»

Идёт бурное обсуждение...

Вот к такому логическому завершению мы подошли, а ведь всё началось с маленькой незатейливой сказки, которую прочитала нам Соня... Слайд 9.


Всем большое спасибо!


Мне было с Вами очень интересно.



Всего Вам доброго. Задание для следующего занятия смотрите на стенде.

2 комментария:

  1. Спасибо, Лариса Германовна. Урок, выше всяких похвал. Вы, мой идейный вдохновитель!

    ОтветитьУдалить
  2. Светлана, спасибо. Вы так меня поддержали, я вам благодарна и признательна.

    ОтветитьУдалить