Согласно легенде, во времена правления
императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная
черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис.а),
и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату,
изображенному на рисунке б.
В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а
затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная
литература.
Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский
писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается
квадрат А. Дюрера , изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия
1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных
клетках нижней строки.
Магическим квадратам приписывали различные мистические
свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го,
6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет.
Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от
чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть
магические квадраты.
В
19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали
исследовать с помощью методов высшей алгебры и операционного исчисления. Каждый
элемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которого
состоит из n клеток, содержит n2 клеток и называется квадратом n-го порядка.
В
большинстве магических квадратов используются первые n последовательных
натуральных чисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на
любой диагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2 + 1)/2.
Доказано, что n і 3. Для квадрата 3-го порядка S = 15, 4-го порядка - S = 34,
5-го порядка - S = 65.
Две диагонали, проходящие через центр квадрата,
называются главными диагоналями. Ломаной называется диагональ, которая, дойдя
до края квадрата, продолжается параллельно первому отрезку от противоположного
края (такую диагональ образуют заштрихованные клетки на рисунке).
Клетки,
симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными.
Таковы, например, клетки a и b.
Правила
построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того,
каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равен
учетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратов
неизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мы
рассмотрим ниже.
Магические квадраты нечетного порядка можно построить с
помощью метода французского геометра 17 в. А.де ла Лубера. Рассмотрим этот
метод на примере квадрата 5-го порядка.
Число 1 помещается в
центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в
естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево.
Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять
диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого
края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки
строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15),
траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения
продолжается.
Метод
Ф. де ла Ира (1640-1718) основан на двух первоначальных квадратах. На рисунке показано, как с помощью этого метода строится квадрат 5-го порядка.
В клетку
первого квадрата вписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в
клетках главной диагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается
дважды в одной строке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами
0, 5, 10, 15, 20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках
главной диагонали, идущей сверху вниз (рис.б). Поклеточная сумма этих двух
квадратов (рис. в) образует магический квадрат. Этот метод используется и при
построении квадратов четного порядка.
Если
известен способ построения квадратов порядка m и порядка n, то можно построить
квадрат порядка mґn. Суть этого способа показана на рисунке.
Здесь m = 3 и n =
3. Более крупный квадрат 3-го порядка (с числами, помеченными штрихами)
строится методом де ла Лубера. В клетку с числом 1ў (центральную клетку
верхнего ряда) вписывается квадрат 3-го порядка из чисел от 1 до 9, также
построенный методом де ла Лубера. В клетку с числом 2ў (правую в нижней строке)
вписывается квадрат 3-го порядка с числами от 10 до 18; в клетку с числом 3ў -
квадрат из чисел от 19 до 27 и т.д. В результате мы получим квадрат 9-го
порядка. Такие квадраты называются составными.
А вы хотите научиться
решать магические квадраты?
Числа записаны так, что их сумма по любым направлениям
(диагоналям, горизонталям, вертикалям) постоянна.
Каждое число магического
квадрата участвует в нескольких разных суммах, и все эти суммы равны между
собой! Этот любопытный, с точки зрения математики, факт вызывает большой
интерес. Магия чисел завораживает
Пусть квадрат разделен на девять клеток (малых квадратов). Требуется
разложить в них числа от 1 до 9 так, что бы сумма чисел в каждой строке, в
каждом столбце, в каждой диагонали составляла 15.
Удобно запомнить следующее решение:
1. Сначала напишем во
всех 9 клетках по 5.
Понятно, что в этом случае сумма трех чисел в каждой строке составляет 15.
2. Оставим в трех клетках
по 5 (в средней клетке стоит 5).
3. В двух рядом стоящих
клетках добавим к пятеркам 1 и 2.
Дальше не трудно закончить составление таблицы. Проверь: получается ли по
всем направлениям постоянная сумма 15?
Решение магических квадратов способствует формированию вычислительных навыков,
а также развитию мышления,
умения планировать и контролировать свою деятельность.
